Các quy tắc tính đạo hàm
I. Kiến thức cơ bản
1. Đạo hàm của một số hàm số thờng gặp. (Ký hiệu U=U(x))
( )
C
=0 (C là hằng số)
( )
x
=1
( )
n
x
=n.x
n-1
(n
N, n
2)
( )
n
U
=n.U
n-1
.
U
x
1
=-
2
1
x
(x
0)
U
1
=-
2
U
U
)( x
=
x2
1
(x>0)
( )
U
=
U
U
2
2. Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)).
( )
VU
=
VU
( )
UV
=
VUVU
+
).(
Uk
=
Uk
.
(k là hằng số)
V
U
=
2
V
VUVU
V
1
= -
2
1
V
3. Đạo hàm của hàm số hợp: g(x) = f[U(x)].
'g
x
=
u
f '
.
x
U
II. Kỹ năng cơ bản
- Vận dụng thành thạo các công thức, quy tắc tính đạo hàm của tổng,
hiệu, tích, thơng các hàm số.
- Tính đợc đạo hàm hàm số hợp.
III. Một số ví dụ
A.Ví dụ tự luận
VD1. Tính đạo hàm của các hàm số
1/ y=2x
5
-3x
4
+x
3
-
2
1
x
2
+1
2/ y=
2
1
x
4
-
3
4
x
3
+
4
1
x
2
+3x-2
3/ y=2x
2
(x-3)
4/ y=
1
2
+
+
m
mx
với m là tham số khác -1
Giải
1/ Ta có:
'y
= 10x
4
-12x
3
+3x
2
x
2/ Ta có:
'y
= 2x
3
- 4x
2
+
2
1
x+3
3/ Ta có:
y= 2x
3
- 6x
2
'y
= 6x
2
-12x
4/ Ta có:
y=
1
+
m
m
x+
1
2
+
m
Do m là tham số khác (-1), nên
'y
=
1
+
m
m
VD2. Tính đạo hàm các hàm số
1/ y=
1
1
+
x
3/ y=
14
13
2
++
x
xx
2/ y=
1
2
+
x
x
4/ y=(3x-2)(x
2
+1)
Giải:
1/ Ta có:
'y
= -
2
)1(
)'1(
+
+
x
x
= -
2
)1(
1
+
x
x
-1
2/ Ta có:
'y
=
2
)1(
)'1).(2()1)'.(2(
+
++
x
xxxx
=
2
)1(
)2()1(
+
+
x
xx
=
2
)1(
3
+
x
x
-1
3/ Ta có:
'y
=
2
22
)14(
)'14)(13()14()'13(
++++
x
xxxxxx
=
2
2
)14(
4).13()14)(16(
+++
x
xxxx
=
2
2
)14(
5612
x
xx
x
4
1
4/ Ta có:
'y
=
)'23(
x
(x
2
+1) - (3x-2)
)'1(
2
+
x
= 3(x
2
+1)-(3x-2).2x
= 3x
2
+3- 6x
2
+4x
= -3x
2
+4x+3
VD3. Tính đạo hàm của các hàm số
1/ y= x
2
1 x
+
2/ y=
x
(x
2
-
x
+1)
3/ y=
x
x
+
1
1
Giải:
1/ Ta có:
'y
=
)(
x
.
2
1 x
+
+x
(
)
+
2
1 x
=
2
1 x
+
+
2
2
1 x
x
+
=
2
2
1
21
x
x
+
+
2/ Ta có:
'y
=
)(
x
(x
2
-
x
+1) +
x
)1(
2
+
xx
=
x
x
2
1x
2
+
+
x
(2x-
x2
1
)
=
x
xx
2
1
2
+
+ 2x
x
-
2
1
x > 0
3/ Ta có:
'y
=
( )
x
xxxx
+
+
1
1)1(1)1(
=
x
x
x
x
+
+
1
12
1
1
=
xx
xx
++
1)1(2
1)1(2
=
xx
x
+
1)1(2
3
x <1
VD4. Tính đạo hàm hàm số
1/ y= (2x+3)
10
2/ y= (x
2
+3x-2)
20
3/ y=
22
2
ax
x
+
(a là hằng số)
Giải:
1/ Ta có:
'y
= 10(2x+3)
9
.
)'32(
+
x
= 20(2x+3)
9
2/ Ta có:
'y
= 20(x
2
+3x-2)
19
.
)23(
2
+
xx
= 20(x
2
+3x-2)
19
.(2x+3)
3/ Ta có:
'y
=
22
222222
)()'(
ax
axxaxx
+
++
=
22
22
3
22
2
ax
ax
x
axx
+
+
+
=
322
23
)(
2
ax
xax
+
VD5. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C ): y=x
3
-3x+7
1/ Tại điểm A(1;5)
2/ Song song với đờng y=6x+1
Giải:
Ta có:
'y
= 3x
2
-3
1/ Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là
k =
'y
(1) = 0
Phơng trình tiếp tuyến cần viết là:
y = 5.
2/ Gọi tiếp điểm là M(x
0
;y
0
)
y
0
= x
0
3
-3x
0
+7
Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là k = 6
'y
(x
0
) = 6
3x
0
2
-3 = 6
x
0
=
3
Với x
0
=
3
y
0
=7.
Phơng trình tiếp tuyến là: y=6x+7- 6
3
Với x
0
=-
3
y
0
=7
Phơng trình tiếp tuyến là: y=6x+7+6
3
VD6. Cho hàm số y=
1
1
2
+
++
x
xx
Giải bất phơng trình khi
'y
0
Giải:
Ta có:
+
'y
=
2)1(
)'1)(1()1()'1(
22
+
++++++
x
xxxxxx
=
2
2
)1(
)1()1)(12(
+
++++
x
xxxx
=
2
2
)1(
2
+
+
x
xx
x
-1
Do đó:
'y
0
2
2
)1(
2
+
+
x
xx
0
+
02
1
2
xx
x
0
2
x
x
B. Ví dụ trắc nghiệm
Chọn những phơng án đúng trong ví dụ sau:
VD7. Cho hàm số y=
12
1
+
x
, khi đó
)2('y
bằng
A.
5
1
B.
5
1
C.
25
1
D.
25
1
VD8: Cho hàm số y=
x2
, khi đó
)4('y
bằng
A. 2
2
B.
22
1
C.
2
2
D.
4
2
VD9. Cho hàm số y=(x+1)
5
, khi đó
)2('
y
bằng
A 5 B.5 C 1 D.1
VD10. Cho hàm số y=2x-
x
, khi đó
)1('y
bằng
A.
2
1
B.
2
3
C. 1 D. Không tồn
tại
VD11. Cho hàm số y=
2
1
+
x
x
, khi đó
)1('
y
bằng
A.0 B 1 C
2
1
D
3
1
VD12. Cho hàm số y=2x
3
-3x
2
+3, khi đó phơng trình
'y
=0 có nghiệm
A. x=0 và x=1 B. x=0 và x=-1 C. x=1 và x=3 D. x=-1 và
x=3
VD13. Cho hàm số y=
( )
2
32
1
+
x
. Đạo hàm
'y
bằng
A.
( )
4
32
4
+
x
B.
( )
3
32
1
+
x
C.
( )
3
32
2
+
x
D.
( )
3
32
4
+
x
VD14. Cho hàm số y=
12
4
+
+
x
x
, đạo hàm
'y
bằng
A.
( )
2
12
7
+
x
B.
( )
2
12
7
+
x
C.
( )
2
12
5
+
x
D.
( )
2
12
5
+
x
VD15. Cho hàm số y=
x
x 1
2
+
, khi đó tập nghiệm của phơng trình
'y
>0
là
A. S =(-
1;
]
[1;+
) C. S =(-
);1()1;
+
B. S =(-
)0;
)
[1;+
) D. S = (
);0()1;
+
VD16. Cho hàm số y=
14
3
+
x
x
, khi đó bất phơng trình
0'
<
y
có tập
nghiệm là:
A. S =(
+
;
4
1
) B. S =[
+
;
4
1
) C. S =[3;+
) D. S
Đáp án:
VD7 VD8 VD9 VD10 VD11 VD12 VD13 VD14 VD15 VD16
C D A B D A D B C D
IV. Bài tập.
A. Bài tập tự luận.
Bài1. Tính đạo hàm của các hàm số:
1/ y=x
3
-2x
2
+x-
x
+1 7/ y=
xx
++
43
2/ y=
32
1
+
x
x
8/ y=
( )
7
2
3
x
3/ y=
2
22
2
+
++
x
xx
9/ y=(x-2)
1
2
+
x
4/ y=
x
x
+
1
1
10/ y=
( )
42
2
2
2
++
xx
5/ y=
432
2
++
xx
11/ y=
( )
11
2
+++
xxx
6/ y=
2
9 x
x
12/ y=
12
3
2
+
++
x
xx
H ớng dẫn:
1/
x
xxy
2
1
143'
2
+=
,
0
>
x
7/
xx
y
+
=
4
1
32
1
'
với-
3<x<4
2/
( )
2
32
5
'
=
x
y
2
3
x
8/
62
)3(14'
=
xxy
3/
( )
2
2
2
24
'
+
++
=
x
xx
y
2
x
9/
1
122
'
2
2
+
+
=
x
xx
y
4/ Ta có: y=1-
x
1
2
, x
0
10/
4
)2(4'
2
2
+
+=
x
x
xxy
( )
2
1
1
'
xx
y
=
0
>
x
12/
3)12(2
11
'
22
+++
=
xxx
y
5/
4322
34
'
2
++
+
=
xx
x
y
6/
( )
3
2
2
9
29
'
x
x
y
=
với -3< x <3
Bài 2. Cho hàm số: y=
123
3
1
23
+
mxxx
tìm m để
1/
'y
là bình phơng của một nhị thức
2/
0'
y
Rx
3/
'y
<0
x
(0;1)
4/
'y
>0
x
>0
H ớng dẫn:
Ta có:
=+=
mxxy 26
2
g(x).
1/ Ta phải có:
=0
029
=
m
m=
2
9
2/ Ta phải có:
0
9-2m
0
m
2
9
3/ Ta phải có:
<
<
0)1(
0)0(
g
g
<+
<
025
02
m
m
m<0
4/ Ta phải có:
+ Hoặc
<0
m >
2
9
+ Hoặc
<
>
>
0
2
0)0(
0
S
g
Hệ vô nghiệm
Bài 3. Viết phơng trình tiếp tuyến của (c ) y=x
3
-3x
2
biết tiếp tuyến vuông góc với
đờng thẳng y=
x
3
1
H ớng dẫn:
+ Ta có
y
= 3x
2
-6x
+ Gọi (x
0
;y
0
) là tiếp điểm, y
0
=x
0
3
-3x
0
2
Ta phải có:
3x
0
2
-6x
0
=-3
x
0
=1 =>y
0
=-2
=> phơng trình tiếp tuyến là: y=-3x+1
Bài 4. Cho đờng cong (c)): y=
3
1
+
x
x
. Tìm toạ độ giao điểm của các tiếp tuyến của
(c) với trục ox. Biết tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng y =-x+1
H ớng dẫn:
+ Ta có
y
=
2
)3(
4
x
+ Hệ số góc của tiếp tuyến k = -1
+ Gọi (x
0
; y
0
) là tiếp điểm, y
0
=
3
1
0
0
+
x
x
Ta phải có:
=
=
< = >=
5
1
1
)3(
4
0
0
2
0
x
x
x
+ Ta có 2 tiếp tuyến là
y = -x và y = -x+8
+ Từ đó suy ra kết quả
B. Bài tập trắc nghiệm
Chọn phơng án đúng trong các bài tập sau:
Bài 4. Cho hàm số y =
x2
1
,
)1(y
bằng
A.
2
1
B.
2
1
C. 1 D. - 1
Bài 5. Cho biết hàm số y =
1
12
+
x
x
,
)1(
y
bằng
A.
4
3
B.
4
3
C.
2
1
D.
2
1
Bài 6. Cho hàm số y =
1
+
x
,
)2(y
bằng
Bài 7. Cho hàm số y =(1-3x)
6
,
)0(y
bằng
A. 1 B. -1 C. 18 D. - 18
Bài 8. Cho hàm số y =
12
2
+
x
, Khi đó tập nghiệm của bất phơng trình
0
y
là:
A. S =IR B. S =[0;
)
+
C. S =(0;
)
+
D. S =
Bài 9. Cho hàm số f(x)= x
2
+3x-1 và g(x) = 2x-3. Bất phơng trình
)()( xgxf
có
tập nghiệm là:
A. S =
B. S =
);
2
1
(
+
C. S =
);
2
1
[
+
D. S =
A.
3
B. -
3
C.
32
1
D. -
32
1
Bài 10. Hàm số y=
4
32
+
x
x
có
A.
2
)4(
11
+
=
x
y
B.
2
)4(
11
+
=
x
y
C.
2
)4(
5
+
=
x
y
D.
2
)4(
5
+
=
x
y
Bài 11. Hàm số y =
xx
có
A.
x
y
2
1
=
B.
xy
+=
1
C.
x
y
2
3
=
D.
2
3 x
y
=
Bài 12. Hàm số y = x
3
+2x
2
-mx+1 có
>
xy 0
IR, khi đó tập các giá trị của m
là:
A. T=
]
3
4
;(
B. T= (
3
4
;
) C. T = (
]1;
D. T= (
1;
)
Bài 13. Hàm số y =
2
x
mx
có
}2{\0 IRxy
<
Khi đó tập các giá trị của m là:
A. T=
);
2
1
(
+
B. T= (
2
1
;
) C. T = (
)0;
D. T= (
]0;
Bài 14. Hàm số y = (2x+3)
10
có
A.
9
)32(10
+=
xy
B.
10
)32(10
+=
xy
C.
9
)32(20
+=
xy
D.
10
)32(20
+=
xy
Bài 15. Hàm số y =
53
2
+
xx
có
A.
53
2
2
+
=
xx
x
y
B.
532
32
2
+
=
xx
x
y
C.
53
2
+
=
xx
x
y
D.
53
32
2
+
=
xx
x
y
Đáp án:
B4. B
B5.
A
B6.
C
B7.
D
B8.
B
B9.
C
B10.
A
B11.
D
B12.
B
B13.
A
B14.
C
B15.
B
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét