41. (Dự bị D, 2007) Giải phương trình 2
3x+1
− 7.2
2x
+ 7.2
x
− 2 = 0.
42. (Dự bị B, 2007) Giải phương trình log
3
(x − 1)
2
+ log
√
3
(2x − 1) = 2.
43. (Dự bị B, 2007) Giải phương trình (2 − log
3
x). log
9x
3 −
4
1 − log
3
x
= 1.
44. (Dự bị A, 2007) Giải phương trình log
4
(x − 1) +
1
log
2x+1
4
=
1
2
+ log
2
√
x + 2.
45. (Dự bị D, 2006) log
3
(3
x
− 1) log
3
(3
x+1
− 3) = 6.
46. (Dự bị B, 2006) log
√
2
√
x + 1 − log
1
2
(3 − x) − log
8
(x − 1)
3
= 0.
47. (BKHN, 2000) log
4
(x + 1)
2
+ 2 = log
√
2
√
4 − x + log
8
(4 + x)
3
.
48. (Dự bị, 2002)
1
2
log
√
2
(x + 3) +
1
4
log
4
(x − 1)
8
= log
2
(4x).
49. (Phân viện Báo chí Tuyên truyền, 2002)
log
27
(x
2
− 5x + 6)
3
=
1
2
log
√
3
x − 1
2
+ log
9
(x − 3)
2
.
50. (Dự bị D, 2006) 2(log
2
x + 1) log
4
x + log
2
1
4
= 0.
51. (Dự bị A, 2006) log
x
2 + 2 log
2x
4 = log
√
2x
8.
52. (A, 2007) 2 log
3
(4x − 3) + log
1
3
(2x + 3) 2.
53. (Dự bị A, 2007) Giải bất phương trình (log
x
8 + log
4
x
2
) log
2
√
2x 0.
54. (Dự bị D, 2007) Giải bất phương trình log
1/2
√
2x
2
− 3x + 1 +
1
2
log
2
(x − 1)
2
1
2
.
55. (CĐSP Quảng Bình) log
1/2
(x − 1) + log
1/2
(x + 1) − log
1/
√
2
(7 − x) = 1.
56. (B, 2006) log
5
(4
x
+ 144) − 4 log
5
2 < 1 + log
5
(5
x−2
+ 1).
57. (CĐTCKT 2006) 3
log
1/2
x + log
4
x
2
− 2 > 0.
58. (Dự bị B, 2003) log
1
2
x + 2 log
1
4
(x − 1) + log
2
6 0.
59. (Dự bị, 2006) log
x+1
(−2x) > 2.
60. (CĐ Y tế Thanh Hoá, 2006)
log
2
0,5
x + 4 log
2
√
x
√
2(4 − log
16
x
4
).
61. (Dự bị, 2005) 9
x
2
−2x
− 2
1
3
2x−x
2
3.
62. (Dự bị, 2002) log
1
2
(4
x
+ 4) log
1
2
(2
2x+1
− 3.2
x
).
63. (D, 2006) 2
x
2
+x
− 4.2
x
2
−x
− 2
2x
+ 4 = 0.
5
64. (A, 2006) 3.8
x
+ 4.12
x
− 18
x
− 2.27
x
= 0.
65. (B, 2007) (
√
2 − 1)
x
+ (
√
2 + 1)
x
− 2
√
2 = 0.
66. (D, 2003) 2
x
2
−x
− 2
2+x−x
2
= 3.
67. (Dự bị B, 2006) 9
x
2
+x−1
− 10.3
x
2
+x−2
+ 1 = 0.
68. (CĐSPHN, A, 2002) 4
x−
√
x
2
−5
− 12.2
x−1−
√
x
2
−5
+ 8 = 0.
69. (Cao đẳng khối A, D, 2006) 3
2x
2
+2x+1
− 28.3
x
2
+x
+ 9 = 0.
70. (ĐHSPHCM, 2002) 4
log
2
2x
− x
log
2
6
= 2.3
log
2
4x
2
.
71. (Dự bị, 2004) log
π
4
log
2
(x +
√
2x
2
− x)
< 0.
72. (CĐKT, 2005) Tìm tập xác định của hàm số y =
log
√
5
(x
2
−
√
5x + 2).
73. 2.[log
121
(x − 2)]
2
log
1
11
(
√
2x − 3 − 1)
.
log
1
11
(x − 2)
.
74. (CĐSPHN, A, Dự bị, 2002) log
1/3
(x − 1) + log
1/3
(2x + 2) + log
√
3
(4 − x) < 0.
75. (CĐSP Vĩnh Phúc, 2002) log
4
(3
x
− 1). log
1
4
3
x
− 1
16
3
4
.
76. (Dự bị, 2004)
2
x−1
+ 4x − 16
x − 2
> 4.
77. (Dự bị, 2004) 2x
1
2
log
2
x
2
3
2
log
2
x
.
78. (CĐSP Hà Tĩnh, 2002) 2
(log
2
x)
2
+ x
log
2
x
4.
79. (Cao đẳng khối A, B, 2005) 3
2x+4
+ 45.6
x
− 9.2
2x+2
0.
80. (CĐKTĐN, 2007) 5.4
x
+ 2.25
x
7.10
x
.
81. (Dự bị 2002) Tìm a để phương trình sau có nghiệm 9
1+
√
1−t
2
− (a + 2)3
1+
√
1−t
2
+ 2a + 1 = 0.
82. (Dự bị 1, B, 2003) Tìm m để phương trình 4(log
2
√
x)
2
−log
1
2
x+m = 0 có nghiệm thuộc khoảng
(0; 1).
83. (Cao đẳng Giao thông, 2003) Tìm m để phương trình 3
4−2x
2
−2.3
2−x
2
+ 2m −3 = 0 có nghiệm.
84. (A, 2002) Cho phương trình
log
2
3
x +
log
2
3
x + 1 − 2m − 1 = 0. (3)
(a) Giải phương trình (3) khi m = 2.
(b) Tìm m để phương trình (3) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3
√
3
].
85. Tìm a để phương trình sau có nghiệm:
9
1+
√
1−x
2
− (a + 2).3
1+
√
1−x
2
+ 2a + 1 = 0.
6
1 Hệ đối xứng loại một, hệ phản xứng
1. Giải các hệ phương trình sau:
a)
x + y + xy = 11,
x
2
+ y
2
+ 3(x + y) = 28;
b)
x + y = 4,
(x
2
+ y
2
) (x
3
+ y
3
) = 280;
c)
x
2
+ y
2
+
√
2xy = 8
√
2,
√
x +
√
y = 4;
d)
x
y
+
y
x
=
5
2
,
x
2
+ y
2
+ xy = 21;
e)
3(
√
x +
√
y) = 4
√
xy,
xy = 9;
f) (A, 2006)
x + y −
√
xy = 3,
√
x + 1 +
√
y + 1 = 4;
g)
x
2
+ y
2
− x + y = 2,
xy + x −y = −1;
h)
x − xy −y = 1,
x
2
y + xy
2
= 6.
2. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
a) (D, 2004)
√
x +
√
y = 1,
x
√
x + y
√
y = 1 − 3m;
b)
x + y + xy = m,
x
2
+ y
2
= m.
3. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
x + y + xy = m + 2,
x
2
y + xy
2
= m + 1.
2 Hệ đối xứng loại hai
1. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xy + x
2
= 1 + y,
xy + y
2
= 1 + x;
b)
x
3
= 3x + 8y,
y
3
= 3y + 8x;
c)
x
3
+ 1 = 2y,
y
3
+ 1 = 2x;
d)
√
x + 5 +
√
y −2 = 7,
√
y + 5 +
√
x − 2 = 7;
e)
2x + y =
3
x
2
,
2y + x =
3
y
2
;
f) (B, 2003)
3y =
y
2
+2
x
2
,
3x =
x
2
+2
y
2
.
2. Giải các phương trình sau:
a) x
3
− 3
3
√
2 + 3x = 2;
b) x
3
− 6 =
3
√
x + 6.
3. (A, 2003)
x −
1
x
= y −
1
y
,
2y = x
3
+ 1.
4. (B, 2002)
3
√
x − y =
√
x − y,
x + y =
√
x + y + 2.
7
5. (ĐHSP khối D, E, 2001) Cho hệ phương trình
√
x + 1 +
√
y −2 =
√
m,
√
y + 1 +
√
y −2 =
√
m.
(4)
a) Giải hệ (5) khi m = 9;
b) Tìm m để hệ phương trình (5) có nghiệm.
6. (Dự bị A, 2007) Giải hệ phương trình
x +
√
x
2
− 2x + 2 = 3
y−1
+ 1,
y +
y
2
− 2y + 2 = 3
x−1
+ 1.
7. (Dự bị B, 2007) Giải hệ phương trình
x +
2xy
3
√
x
2
− 2x + 9
= x
2
+ y,
y +
2xy
3
y
2
− 2y + 9
= y
2
+ x.
8. (Dự bị B, 2007) Chứng minh rằng hệ phương trình
e
x
= 2007 −
y
y
2
− 1
,
e
y
= 2007 −
x
√
x
2
− 1
có đúng hai nghiệm (x; y) thoả mãn x > 1, y > 1.
3 Phương pháp đặt ẩn phụ
1. Giải các hệ phương trình sau:
a)
x(x + 2)(2x + y) = 9,
x
2
+ 4x + y = 6;
b)
√
2x + y + 1 −
√
x − y = 1,
3x + 2y = 4;
c)
x + y +
x
y
= 5,
(x + y)
x
y
= 6;
d)
x + y +
1
x
+
1
y
= 5,
x
2
+ y
2
+
1
x
2
+
1
y
2
= 9;
e)
x + y + x
2
+ y
2
= 8,
xy(x + 1)(y + 1) = 12;
f)
1 + x
3
y
3
= 19x
3
,
y + xy
2
= −6x
2
.
4 Hệ đẳng cấp
1. Giải các hệ phương trình sau:
a)
x
2
+ xy = 6,
x
2
+ y
2
= 5;
b)
2x
2
+ 3xy + y
2
= 12,
x
2
− xy + 3y
2
= 11;
c)
(x − y)
2
y = 2,
x
3
− y
3
= 19;
d)
x
2
− 5xy + 6y
2
= 0,
4x
2
+ 2xy + 6x −27 = 0;
86. Giải các hệ phương trình sau:
8
a) (D, 2007) Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:
x +
1
x
+ y +
1
y
= 5,
x
3
+
1
x
3
+ y
3
+
1
y
3
= 15m − 10.
.
b) (Dự bị khối D, 2005)
√
2x + y + 1 −
√
x + y = 1
3x + 2y = 4
c) (Dự bị khối D, 2005)
x
2
+ y
2
+ x + y = 4
x(x + y + 1) + y(y + 1) = 2
d) (Khối A, 2006)
x + y −
√
xy = 3
√
x + 1 +
√
y + 1 = 4
(x, y ∈ R)
e) (Dự bị Khối A, 2006)
x
2
+ 1 + y(y + x) = 4y
(x
2
+ 1)(y + x −2) = y
(x, y ∈ R)
f) (Dự bị Khối A, 2006)
x
3
− 8x = y
3
+ 2y
x
3
− 3 = 3(y
2
+ 1)
(x, y ∈ R)
g) (Khối D, 2006) Chứng minh rằng với mọi a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
e
x
− e
y
= ln(1 + x) − ln(1 + y),
y −x = a.
h) (Dự bị Khối D, 2006)
x
2
− xy + y
2
= 3(x − y),
x
2
+ xy + y
2
= 7(x − y)
2
(x, y ∈ R)
i) (Dự bị Khối D, 2006)
ln(1 + x) − ln(1 + y) = x −y,
x
2
− 12xy + 20y
2
= 0.
j) (Dự bị Khối B, 2006)
(x − y)(x
2
+ y
2
) = 13,
(x + y)(x
2
− y
2
) = 25
(x, y ∈ R).
k) (Dự bị, 2005)
x
2
+ y = y
2
+ x,
2
x+y
− 2
x−1
= x − y
l) (Dự bị 2002)
x − 4|x| + 3 = 0,
log
4
x −
log
2
y = 0.
87. Giải các phương trình sau:
1) (A, 2006)
2(cos
6
x + sin
6
x) − sin x cos x
√
2 − 2 sin x
= 0.
2) (A, 2007) (1 + sin
2
x) cos x + (1 + cos
2
x) sin x = 1 + sin 2x.
3) (D, 2006) cos 3 x + cos 2x − cos x − 1 = 0.
4) (D, 2007)
sin
x
2
+ cos
x
2
2
+
√
3 cos x = 2.
9
5) (B, 2007) 2 sin
2
x + sin 7x − 1 = sin x.
6) (Dự bị A, 2007) Giải phương trình sin 2x + sin x −
1
2 sin x
−
1
sin 2x
= 2 cot 2x.
7) (Dự bị A, 2007) Giải phương trình 2 cos
2
x + 2
√
3 sin x cos x + 1 = 3(sin x +
√
3 cos x).
8) (Dự bị B, 2007) Giải phương trình sin
5x
2
−
π
4
− cos
x
2
−
π
4
=
√
2 cos
3x
2
.
9) (Dự bị B, 2007) Giải phương trình
sin 2x
cos x
+
cos 2x
sin x
= tan x − cot x.
10) (Dự bị D, 2007) Giải phương trình 2
√
2 sin
x −
π
12
cos x = 1.
11) (Dự bị D, 2007) Giải phương trình (1 − tan x)(1 + sin 2x) = 1 + tan x
12) (Dự bị B, 2006) (2 sin
2
x − 1) tan
2
2x + 3(cos
2
x − 1) = 0.
13) (Dự bị B, 2006) cos 2x + (1 + 2 cos x)(sin x − cos x) = 0.
14) (Dự bị D, 2006) cos
3
x + sin
3
x + 2 sin
2
x = 1.
15) (Dự bị D, 2006) 4 sin
3
x + 4 sin
2
x + 3 sin 2x + 6 cos x = 0.
16) 2 cos 2x + sin
2
x cos x + sin x cos
2
x = 2(sin x + cos x).
17) 3 − 4 sin
2
2x = 2 cos 2x(1 + 2 sin x).
18) 2 cos x +
1
3
cos
2
(x + π) =
8
3
+ sin 2x + 3 cos
x +
π
2
+
1
3
sin
2
x.
19) cos
2
x +
π
3
+ cos
2
x +
2π
3
=
1
2
(sin x + 1).
20) sin
3x +
π
4
= sin 2x. sin
x +
π
4
.
21) (Dự bị A, 2006) cos 3 x. cos
3
x − sin 3x sin
3
x =
2 + 3
√
2
8
.
22) (Dự bị A, 2006) 2 cos
2x −
π
6
+ 4 sin x + 1 = 0.
23) (B, 2006) cot x + sin x
1 + tan x tan
x
2
= 4.
24) (A, 2005) cos
2
3x cos 2x − cos
2
x = 0.
25) (B, 2005) 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0.
26) (D, 2005) cos
4
x + sin
4
x + cos
x −
π
4
sin
3x −
π
4
−
3
2
= 0.
27) (Dự bị 2005) 2
√
2 cos
3
x −
π
4
− 3 cos x − sin x = 0.
28) (Dự bị 2005) 4 sin
2
x
2
−
√
3 cos 2x = 1 + 2 cos
2
x −
3π
4
.
29) (Dự bị 2005) sin x cos 2x + cos
2
x(tan
2
x − 1) + 2 sin
3
x = 0.
30) (Dự bị 2004) 4(sin
3
x + cos
3
x) = cos x + 3 sin x.
31) sin x. sin 2x + sin 3x = 6 cos
3
x.
32) (Dự bị 2004)
1
cos x
−
1
sin x
= 2
√
2 cos
x +
π
4
.
10
33) (Dự bị 2004) sin 2 x − 2
√
2(sin x + cos x) − 5 = 0.
34) 1 + sin
3
x + cos
3
x =
3
1
sin 2x.
35) cos 3x − sin 2x =
√
3(cos 2x − sin 3x).
36) sin x + sin 2x =
√
3(cos x + cos 2x).
37) 4(sin
4
x + cos
4
x) +
√
3 sin 4x = 2.
88. (A, 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của
các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện
CMNP .
89. (B, 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi E là
điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của
BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng
MN và AC.
90. (Dự bị A, 2007) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có AB = a, AC = 2a, AA
1
= 2a
√
5
và
BAC = 120
◦
. Gọi M là trung điểm của cạnh CC
1
. Chứng minh rằng MB ⊥ MA
1
và tính
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A
1
BM).
91. (Dự bị A, 2007) Cho hình chóp S.ABC có góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng
60
◦
, các tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cạnh bằng a. Tính theo a khoảng cách từ
điểm B đến mặt phẳng (SAC).
92. (Dự bị B, 2007) Trong mặt phẳng (P ) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C
thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P ) tại
A, lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 60
◦
. Gọi H, K lần lượt
là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Chứng minh rằng tam giác AHK là tam
giác vuông và tính thể tích của khối chóp S.ABC.
93. (Dự bị B, 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc
với đáy hình chóp. Cho AB = a, SA = a
√
2. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A
trên các cạnh SB, SD. Chứng minh rằng SC ⊥ (AHK) và tính thể tích của khối chóp O.AHK.
94. (Dự bị D, 2007) Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có đáy AB C là tam giác vuông, AB = AC =
a, AA
1
= a
√
2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AA
1
và BC. Chứng minh rằng
MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng AA
1
và BC
1
. Tính thể tích của khối chóp
M.A
1
BC
1
.
95. (Dự bị D, 2007) Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung
điểm của đoạn AA
1
. Chứng minh BM ⊥ B
1
C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM
và B
1
C.
11
96. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau, OA = a, OB = b,
OC = c. Gọi α, β, γ lần lượt là góc giữa OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng
sin
2
α + sin
2
β + sin
2
γ = 1.
97. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau. Gọi α, β, γ lần lượt là
các góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC), (OAC), (OAB). Chứng minh rằng
cos α + cos β + cos γ
√
3.
98. (Khối B, 2002) Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có cạnh bằng a.
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A
1
B và B
1
D;
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh B
1
B, CD, A
1
D
1
. Tính góc giữa hai đường
thẳng MP và C
1
N.
99. (ĐH Ngoại thương HCM, 2002) Cho hình lập phương ABCD.A
B
C
D
có cạnh bằng a. Giả sử
M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và DD
.
a) Chứng minh rằng MN//(A
BD)
b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và MN.
100. (Học viện quan hệ quốc tế, khối D, 2001) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A
B
C
D
với AB =
a, BC = b, AA
= c.
a) Tính diện tích tam giác ACD
theo a, b, c.
b) Giả sử M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Hãy tính thể tích tứ diện D
DMN theo
a, b, c.
101. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy (ABC). Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a, biết SA =
a.
√
6
2
.
102. (Dự bị 2002) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
mặt phẳng đáy (ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo A khoảng
cách từ điểm S đến đường thẳng BE.
103. (Dự bị 2002) Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a. Trên đường thẳng vuông
góc với mặt phẳng (ABC) tại điểm A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và
(SBC) bằng 60
◦
. Tính độ dài đoạn thẳng SA theo a.
104. (Khối B, 2004) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và
mặt đáy bằng ϕ (0
◦
< ϕ < 90
◦
). Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (SAB)
theo ϕ. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và ϕ.
105. (Khối A, 2006) Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O
, bán kính đáy bằng chiều
cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O
lấy điểm B
sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện O O
AB.
12
106. (Dự bị, Khối A, 2006) Cho hình hộp đứng ABCD.A
B
C
D
có các cạnh AB = AD = a, AA
=
a
√
3
2
và
BAD = 60
◦
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh A
D
và A
B
. Chứng minh
rằng AC
vuông góc với mặt phẳng (BDM N). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
107. (Dự bị, Khối A, 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =
a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60
◦
. Trên
cạnh SA lấy điểm M sao cho AM =
a
√
3
3
. Mặt phẳng BCM cắt SD tại điểm N. Tính thể tích
khối chóp S.BCMN.
108. (Khối A, 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a
và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A
trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.
109. (Dự bị, Khối D, 2006) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi SH là
đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SBC) bằng b.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
110. (Dự bị, Khối D, 2006) Cho hình lập phương ABCD.A
B
C
D
có cạnh bằng a và điểm K thuộc
cạnh CC
sao cho CK =
2
3
a. Mặt phẳng (α) đi qua A, K và song song với BD chia khối lập
phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó.
111. (Khối B, 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD =
a
√
2, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với
mặt phẳng (SMB). Tính thể tích khối tứ diện ANIB.
112. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
BAD = 60
◦
, SA vuông góc với
mặt phẳng (ABCD), SA = a. Gọi C
là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P ) đi qua AC
và song
song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B
và D
. Tính thể tích khối chóp
S.AB
C
D
.
113. Cho hình lăng trụ ABC.A
B
C
có A
.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh
bên A
A = b. Gọi α là góc xen giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A
BC). Tính tan α và thể tích
của khối chóp A
.BB
C
C.
114. Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tam giác ABC có
AB = BC = 2a,
ABC = 120
◦
. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC).
115. Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tại B , cạnh SA vuông góc với đáy
ACB =
60
◦
, BC = a, SA = a
√
3. Gọi M là trung điểm của cạnh SB. Chứng minh mặt phẳng (SAB)
vuông góc với mặt phẳng (SBC). Tính thể tích của khối tứ diện MABC.
116. (Cao đẳng Tài chánh Kế toán, 2006) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a
và góc
ASB = 60
◦
. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
13
117. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
118. (Khối B, 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A
B
C
D
có đáy ABCD là một hình thoi cạnh
a, góc
BAD = 60
◦
. Gọi M là trung điểm của cạnh CC
. Chứng minh rằng bốn điểm B
, M, D, N
cùng nằm trên một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA
theo a để tứ giác B
MDN là hình
vuông.
119. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh bằng 2
√
6. Các
điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AC, AB. Tính thể tích hình chóp S.AMN
và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp đó.
120. Trong không gian cho hai đường thẳng
d
1
:
x
1
=
y + 1
2
=
z
1
và d
2
:
3x − z + 1 = 0,
2x + y −1 = 0.
a) Chứng minh rằng d
1
, d
2
chéo nhau và vuông góc với nhau;
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng cắt cả hai đường thẳng d
1
, d
2
và song song với
đường thẳng
∆ :
x − 4
1
=
y −7
4
=
z − 3
−2
.
121. Cho hai điểm A(1; −1; 2), B(3; 1; 0) và mặt phẳng (P ) có phương trình x − 2y − 4z + 8 = 0.
a) Lập phương trình đường thẳng (d) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau: (d) nằm trong mặt
phẳng (P ), (d) vuông góc với đường thẳng AB và (d) đi qua giao điểm của đường thẳng AB
với mặt phẳng (P ).
b) Tìm toạ độ điểm C trong mặt phẳng (P ) sao cho CA = CB và mặt phẳng ABC vuông góc
với mặt phẳng (P ).
122. Cho tam giác ABC có điểm B(2; 3; −4), đường cao CH có phương trình ∆
1
:
x − 1
5
=
y −2
5
=
z
−5
và đường phân giác trong góc
A là AI có phương trình ∆
2
:
x − 5
7
=
y −3
1
=
z + 1
2
. Lập
phương trình chính tắc cạnh AC.
123. Cho tam giác ABC có điểm A(−1; −1; 2), đường cao BK và đường trung tuyến CM lần lượt
có phương trình
d
1
:
x + 1
2
=
y −1
3
=
z − 4
4
, d
2
:
x − 1
2
=
y + 2
−3
=
z − 5
1
.
Lập phương trình đường thẳng chứa các cạnh AB, AC của tam giác ABC.
124. (A, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
d
1
:
x
2
=
y −1
−1
=
z + 2
1
và d
2
:
x = −1 + 2t,
y = 1 + t,
z = 3.
14
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét