Tiểu luận

Mối quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lớp 10.
Newton, Dandelin, Gergonne, Poncelet, Brianchon, Dupin, Chasles, và Steiner. Thiết
diện conic là 1 đề tài kinh điển đã thúc đẩy nhiều sự phát triển trong lịch sử toán học.
Dịch từ trang web:
http://xahlee.org/specialplanecurves_dir/Conicsections_dir/conicsections.html

II. Quan điểm đại số về các đường conic:

Trong tọa độ Đềcac, các đường conic thỏa mãn phương trình bậc hai có
dạng :


trong đó A, B, C, D, E và F là các hằng số; A, B, C là các số khác 0.
Khi chúng ta thay đổi một vài trong các hằng số này thì hình dạng tương ứng
của conic sẽ thay đổi theo.Vì vậy, tập trung chú ý vào những sự thay đổi này trong
các phương trình đại số khi nghiên cứu từng đường conic là một điều quan trọng.
Việc chúng ta biết được sự khác biệt trong các phương trình sẽ giúp chúng ta xác
định một cách nhanh chóng loại conic được biểu diễn bằng phương trình đã cho. Có
lẽ chúng ta đã làm việc nhiều với những phương trình như vậy mặc dù có thể không
nhận ra nó ở góc độ liên quan đến các đường conic.
Dịch từ trang web:
http:// www.Krelinst.org/UCES/archive/resources/conics/node7.html
.
Nếu
thì phương trình biểu diễn 1 elip (trừ trường hợp
và
)
Nếu
thì phương trình biểu diễn 1 parabol.
Nếu
thì phương trình biểu diễn 1 hypebol.
Nếu có thêm điều kiện
, phương trình biểu diễn 1 hypebol đều.
Thay đổi hệ trục tọa độ, ta có thể đưa các phương trình của các conic về dạng
chính tắc:
5
SVTH: Nguyễn Thị Bích Hoa.
Mối quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lớp 10.
22 22
22 22
2
22
22
Elip: 1; 1
Parabol: 4 .
x
Hypebol: 1
a
xy xy
ab ba
yax
y
b
+ =+
=
−=
=

Những dạng chính tắc có thể được viết như những phương trình tham số:
2
Elip: (cos,sin)
Parabol: ( ,2 )
H
ypebol: ( sec , tan ) hoaëc ( cosh , sinh )
ab
at at
ab aubu
θ θ
θθ
±

 Trong tọa độ thuần nhất, các đường conic có thể được biểu diễn qua
phương trình:


Hoặc qua dạng ma trận:

Đặt:


Ma trận được gọi là ma trận của thiết diện conic và
M
δ
được gọi là biệt số
của thiết diện conic.
Nếu δ = 0 thì thiết diện conic là 1 parabol.
Nếu δ < 0 thì nó là 1 hypebol và là 1 hypebol đều nếu δ < 0 và A1 = -A2.
Và nếu δ > 0 thì nó là 1 elip.( Nó là 1 đường tròn nếu δ > 0 và A1 = A2 ).
Dịch từ trang web:http://en.wikipedia.org/wiki/conic_section

6
SVTH: Nguyễn Thị Bích Hoa.
Mối quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lớp 10.
III. Nói về Parabol:
Thuật ngữ “parabol” xuất phát từ từ “parabole” của tiếng Hy Lạp. Parabol có
thể được xem như là elip với 1 tiêu điểm ở vô cực. Điều này có nghĩa là các tia sáng
song song cùng chiếu vào 1 chiếc gương hình parabol sẽ gặp nhau tại 1 điểm.
Người ta kể rằng: Archimedes đã sử dụng gương hình parabol trong chiến
tranh. Suốt thời kỳ bao vây thành phố Syracuse (214 - 212 năm trước Công nguyên)
bởi những người La Mã, Archimedes đã xây dựng sự phản chiếu những tấm kim loại
theo hình dạng của parabol. Những tấm kim loại được dùng để hội tụ những tia nắng
mặt trời vào tàu của người La Mã, và làm chúng bốc cháy.
Menaechmus tìm thấy parabol trong khi đang thử tìm 1 hình lập phương có
diện tích bằng hai lần diện tích của hình lập phương đã cho. Thực tế là ông đã cố giải
phương trình x
3
= 2. Menaechmus đã giải phương trình như sự tương giao của 2
parabol y =x
2
và x=1/2y
2
.
Euclid đã viết về parabol và Apollonius (200 năm trước Công nguyên) đã đưa
ra đường cong này cùng với tên của nó.
Pascal đã xem đường cong này là hình chiếu của 1 hình tròn.
Luca Valerio (người Ý) đã xác định diện tích của 1 parabol vào năm 1606;
được gọi là phép cầu phương của parabol.
Nhưng Archimedes là người đầu tiên tìm ra giá trị của diện tích này trong tác
phẩm "Quadrature of a Parabola" của ông.
Cuối thời Trung cổ, súng đại bác được dùng ở chiến trường. Bởi vậy, việc dự
đoán vị trí chính xác đích của những viên đạn bắn ra là rất quan trọng. Nhiều nhà
khoa học cố tìm câu trả lời cho câu hỏi này, và Galileo Galilei là người đầu tiên tìm
ra mối quan hệ. Đó là quỹ đạo của đạn bắn ra (bỏ qua hiệu ứng của sự ma sát) có
dạng của 1 parabol.
Dịch từ trang web: http://www.2dcurves.com/conicsetion/conicsectionp.html
.
Một parabol có thể được vẽ trên hệ trục tọa độ Oxy dựa vào phương trình của
nó. Parabol là 1 trong những đường cong conic được tạo nên bởi việc giao của 1 hình
nón tròn xoay và 1 mặt phẳng. Parabol được tạo nên khi mặt phẳng song song với 1
7
SVTH: Nguyễn Thị Bích Hoa.
Mối quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lớp 10.
đường thẳng được vẽ trên bề mặt xiên của hình nón từ đỉnh của hình nón tới đáy của
nó.

Hình vẽ từ trang web:
http://id.mind.net/~zone/mmts/miscellaneousMath/conicsections/parabol.html
.
Một parabol là tập hợp của tất cả những điểm (x,y) mà khoảng cách tới 1
đường thẳng cố định (được gọi là đường chuẩn) và 1 điểm cố định – không nằm trên
đường chuẩn – (được gọi là tiêu điểm) là bằng nhau.
Còn một vài thuật ngữ khác tồn tại trong mối quan hệ với parabol. Điểm thuộc
parabol, nằm giữa tiêu điểm và đường chuẩn của parabol được gọi là đỉnh và đường
thẳng đi qua tiêu điểm và đỉnh được gọi là trục của parabol. (Tương tự như trục lớn
của elip và trục thực của hypebol).
Bây giờ, chúng ta thay đổi phương trình chính tắc của parabol và chú ý 4 loại
parabol sinh ra từ sự thay đổi đó. Khi xem xét 4 loại parabol đó, chúng ta hãy chú ý
tới sự khác biệt giữa các phương trình liên hệ với sự khác nhau giữa 4 parabol đó.
Phương trình chính tắc của parabol với đỉnh tại (0,0) với tiêu điểm nằm cách d
đơn vị so với đỉnh sẽ có dạng
2
4=x dy
( xem FIGURE P3) nếu trục của parabol
thằng đứng và có dạng ( xem FIGURE P4) nếu trục của parabol nằm
ngang.
2
4=ydx

8
SVTH: Nguyễn Thị Bích Hoa.
Mối quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lớp 10.
Chú ý: Ở đây, chúng ta giả sử rằng:
0
d
>
Trong trường hợp d là số âm xem FIGURE P5 và P6.

Vì vậy, chúng ta thấy rằng có 4 hướng khác nhau của parabol, chúng phụ
thuộc vào:
 Biến nào là biến bậc hai (x hay y).
 d là số âm hay số dương.
Đối với parabol có trục ngang làm đường chuẩn và đỉnh tại (h, k), phương
trình sẽ là (x – h)
2
= 2p(y – k), trong đó: p là khoảng cách giữa tiêu điểm và đường
chuẩn. Ngược lại, phương trình của 1 parabol với trục thẳng đứng làm đường chuẩn
là (y – k)
2
= 2p(x – h).
Dịch từ trang web:
http:// www.Krelinst.org/UCES/archive/resources/conics/node51.html

IV. Khái quát về kiến thức Parabol trong Đại số 10 và
Hình học 10:
Qua tìm hiểu lịch sử và những vấn đề liên quan đến parabol, chúng ta đã có 1
cái nhìn khái quát về parabol. Dưới quan điểm Đại số và Hình học, parabol đã được
đưa vào sách giáo khoa THPT .
Nếu như trong SGK Đại số 10 parabol được xem xét dưới góc độ đồ thị của 1
hàm số bậc hai, xác định các yếu tố của parabol như đỉnh, trục đối xứng gắn với các
hệ số của hàm số bậc hai tương ứng. Tuy nhiên, SGK Đại số cũng chỉ dừng lại ở
các parabol nhận trục tung hoặc các đường thẳng song song với trục tung làm trục đối
9
SVTH: Nguyễn Thị Bích Hoa.
Mối quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lớp 10.
xứng còn trường hợp nhận trục hoành hoặc các đường thằng song song với trục
hoành thì chưa được đề cập đến. “ Sự hạn chế này là hợp lý vì học sinh chỉ mới bắt
đầu làm quen với parabol từ lớp 9, lên lớp 10 là sự củng cố lại và tiếp tục khái quát
một phần hình ảnh parabol của lớp 9, nên sự khái quát này không phải là “toàn bộ”,
mà phải mang tính chất “từng bước”, nội dung “vừa đủ” để học sinh lĩnh hội và phải
sát với những gì học sinh được học ở lớp 9 để học sinh có thể “ thấy mối liên quan
giữa parabol ở học sinh lớp 9 và lớp 10” (Trích tiểu luận “Khái niệm parabol trong
thể chế dạy học ở trường THPT” của Nguyễn Thị Thu Thùy).
Thì trong Hình học 10, học sinh chủ yếu được học các tính chất “hình học”
và “giải tích” của parabol bằng định nghĩa theo kiểu mô tả parabol qua các yếu tố rất
quen thuộc và cơ bản của hình học như điểm, đường thằng, khoảng cách, thiết lập
phương trình chính tắc. Sách Hình học còn đưa vào phần chú ý như sự giải thích tại
sao trong Đại số lại thừa nhận đồ thị của hàm số bậc hai là parabol. Như vậy, với việc
đại số hóa Hình học – sự ra đời của hình học giải tích, các mô hình Hình học được
mang “hình dáng” Đại số trở nên dễ khảo sát hơn đồng thời nối liền Hình học với Đại
số.
Như đã nói ở trên, Đại số 10 không đưa đầy đủ các dạng của parabol, Hình học
10 đã bổ sung thêm dưới dạng phương trình chính tắc nhưng vấn đề là học sinh sẽ
tiếp thu điều này thế nào bởi học sinh được học trong Đại số “hàm số bậc hai có dạng
y = ax
2
+bx+c (a ≠0) là parabol” trong khi trong Hình học thì “phương trình chính tắc
của parabol lại là y
2
= 2px, trong đó p > 0”. Và với 1 bài toán về parabol sẽ phải vận
dụng kiến thức về Hình học hay Đại số để giải.
Trong 2 tiết dạy bài Parabol trong phần Hình học, chúng ta sẽ phải cung cấp
cho học sinh khái niệm parabol theo Hình học, phương trình chính tắc và các yếu tố
liên quan đồng thời giúp các em hiểu về parabol theo 2 quan điểm Đại số và Hình học
1 cách rõ ràng và biết cách áp dụng chúng khi có 1 bài toán về parabol.
Để làm được điều đó, chúng ta phải làm sáng tỏ:
 Phương trình chính tắc của parabol là 1dạng của hàm số bậc hai nhưng biến
bậc hai là y, không phải là hàm số bậc hai theo biến x như hàm y= ax
2
+bx+c (a ≠0)
trong Đại số.
10
SVTH: Nguyễn Thị Bích Hoa.
Mối quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lớp 10.
o Nếu là hàm số bậc hai theo biến x thì trục đối xứng sẽ là trục tung
hoặc những đường thẳng song song với trục tung.
o Nếu là hàm số bậc hai theo biến y thì trục đối xứng là trục hoành
hoặc những đường thẳng song song với trục hoành.
 Làm rõ phần chú ý.
 Đưa ra một số bài tập để áp dụng kiến thức đã học trong Đại số và Hình học.
Do đó, khái niệm parabol trong Đại số và Hình học 10 có sự nối kết với nhau
nhất định “đồ thị hàm số bậc hai là một parabol, xem đồ thị như một công cụ để xây
dựng bảng biến thiên, tính cực trị của hàm số; ngược lại, phương trình chính tắc của
một parabol có dạng là hàm số bậc hai và lấy dạng chính tắc này để khảo sát.”
(Trích tiểu luận “Mối liên hệ giữa đại số và hình học xét riêng giữa hàm số bậc hai và
parabol” của Hoàng Minh Trị).
V. Xây dựng tình huống dạy học bài parabol trong Hình học
10:
1. Mục đích xây dựng tình huống:
Hình thành biểu tượng trực quan về parabol trước khi bước vào định nghĩa
parabol theo quan điểm Hình học. Việc hình thành biểu tượng cho học sinh được xây
dựng dựa trên thực nghiệm để học sinh quan sát, phán đoán để từ đó rút ra được kết
luận cần thiết cho bài học. Cách tiếp cận này giúp học sinh dễ dàng hiểu được bản
chất của khái niệm parabol.
Tổ chức để học sinh từng bước tìm ra phương trình chính tắc của parabol.
Giáo viên sẽ dẫn dắt học sinh đi tìm phương trình chính tắc của parabol qua 1 hệ
thống câu hỏi có tính chất dẫn dắt, gợi mở vấn đề. Làm như vậy có tác dụng gắn kết
một cách tự nhiên biểu tượng trực quan về parabol vừa hình thành ở học sinh thông
qua hoạt động với việc thiết lập phương trình chính tắc.
Nêu vấn đề và giải quyết vấn đề nhằm tìm ra mối quan hệ giữa kiến thức về
parabol trong Đại số và Hình học.
11
SVTH: Nguyễn Thị Bích Hoa.
Mối quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lớp 10.
2. Tình huống dạy học.
( Nộp kèm theo file word này là 1 giáo án điện tử bài ”Parabol”
Hình học lớp 10 dựa trên cở sở xây dựng tình huống dưới đây)
a) Mục đích yêu cầu:
(i) Kiến thức:
 Học sinh nắm vững định nghĩa của parabol, phương trình chính tắc và
các khái niệm: tiêu điểm, đường chuẩn, tham số tiêu của parabol.
 Biết được lý do hàm số bậc hai trong Đại số là parabol theo định nghĩa
vừa học.
(ii) Kỹ năng:
 Viết được phương trình chính tắc của parabol khi biết các yếu tố xác
định parabol và xác định được tiêu điểm, đường chuẩn của parabol khi
biết phương trình chính tắc của parabol.
 Biết áp dụng kiến thức đã học khi gặp 1 bài toán liên quan đến parabol.
 Rèn luyện học sinh các thao tác tư duy: phân tích, so sánh, tổng hợp.
b) Phương pháp – Phương tiện dạy học:
 Phương pháp: Vấn đáp, gợi mở kết hợp với phương pháp nêu và giải
quyết vấn đề.
 Phương tiện dạy học: êke tam giác vuông, tấm ván, đoạn dây không đàn
hồi, bút chì, máy chiếu hoặc bảng phụ.
c) Chuẩn bị của học sinh và giáo viên:
(i) Học sinh (HS):
Trước tiết học, giáo viên sẽ chia nhóm, mỗi nhóm từ 5 đến 6 học sinh. Mỗi
nhóm sẽ chuẩn bị dụng cụ theo yêu cầu của giáo viên:
• 1 tấm ván phẳng, mỏng, hình chữ nhật kích thước tối thiểu 30(cm) x
20(cm).
12
SVTH: Nguyễn Thị Bích Hoa.
Mối quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lớp 10.
• 1 êke tam giác vuông.
• 1 sợi dây không đàn hồi dài tối thiểu 15(cm)
• 1 thước dài (bằng gỗ hoặc nhựa không đàn hồi) có chia vạch cm.
• 1 chiếc búa và 1 cây đinh.
•
Giấy, bút để ghi lại kết quả thu được
.
(ii) Giáo viên (GV):

Chuẩn bị máy chiếu ( nếu có) hoặc bảng phụ ghi các nội dung:
• Các công việc phải làm trong quá tình tiến hành thực nghiệm.
• Gợi ý hướng làm để tìm ra phương trình chính tắc.
• Thiết lập phương trình chính tắc của parabol.
• Đề các bài tập áp dụng.
d) Các bước tiến hành thực nghiệm:
(i) Hoạt động 1: Thực nghiệm – quan sát – dự đoán.
GV ghi nội dung công việc phải làm của các nhóm lên bảng phụ hoặc dùng
máy chiếu.
Thực nghiệm
: Các nhóm tiến hành theo hướng dẫn:
1. Vẽ đường thẳng d chia chiều dài miếng ván thành hai phần bằng nhau.
2. Đo chiều rộng d
1
của cây thước dài (gọi cây thước
+
).
3. Lấy F thuộc d sao cho khoảng cách từ F đến
+
bằng 4+d
1
(cm).
4. Đóng chiếc đinh vào vị trí của điểm F.
5. Đính 1 đầu sợi dây không dãn vào đỉnh C của êke.
6. Cột đầu còn lại của sợi dây vào chiếc đinh sao cho khoảng cách giữa 2
đầu dây bằng độ dài cạnh CB.
7. Đặt cây thước dài lên tấm ván, giữ cố định cây thước.
8. Đặt êke lên tấm ván bên trái (phải) của d sao cho cạnh AB của êke tiếp
xúc với cạnh của cây thước và sợi dây được kéo căng đến mức có thể,
đánh dấu vị trí M.
13
SVTH: Nguyễn Thị Bích Hoa.
Mối quan hệ giữa Đại số và Hình học qua mảng kiến thức Parabol ở lớp 10.
9. Đo độ dài của MF và MB, ghi kết quả ra giấy rồi so sánh 2 kết quả đo
được.
10. Dùng đầu bút chì ép sát sợi dây vào cạnh CB rồi cho cạnh AB của êke
chạy trên
+
sao cho sợi dây luôn căng. Làm tương tự như vậy khi êke ở
phía bên phải (trái) của d.

Quan sát:
GV yêu cầu HS cho biết tên gọi của hình ảnh mà bút chì vạch
ra trên mặt miếng ván?
 5 phút cho các nhóm thảo luận.
Câu trả lời mong đợi: Đó là parabol.

GV nêu vấn đề
: “Một parabol là tập hợp những điểm M mà bút chì vạch ra
khi dùng đầu bút chì ép sát sợi dây vào cạnh CB, rồi cho cạnh AB của êke chạy trên
phía bên trái ( phải của d) sao cho sợi dây luôn căng. Vậy những điểm M có tính
chất gì?”
+
 Dự đoán:
GV yêu cầu các nhóm lấy các điểm P, Q, R, S, T khác nhau trên đường cong
và tính độ dài của các cặp đoạn thẳng PF và PB, QF và QB, RF và RB, SF và SB, TF
và TB và so sánh độ dài của 2 đoạn thẳng trong cùng một cặp với nhau.
Trong quá trình đo độ dài các đoạn thẳng, các kết quả có thể có sai lệch nên
các nhóm có thể trao đổi với nhau về các kết quả thu được.
Kết quả mong đợi:
PF = PB, QF = QB, RF = RB, SF = SB, TF =TB.
GV yêu cầu các nhóm rút ra dự đoán về tính chất những điểm M trên parabol.
Kết quả mong đợi: Điểm M trên parabol có khoảng cách đến điểm F và
đường thẳng bằng nhau.
+
⇒ GV đưa ra định nghĩa hoàn chỉnh.
“Cho điểm F cố định và 1 đường thẳng cố định không đi qua F. Tập hợp
các điểm M cách đều F và được gọi là đường parabol( hay parabol)
+
+
Điểm F được gọi là tiêu điểm của parabol.
Đường thẳng được gọi là đường chuẩn của parabol.
+
Khoảng cách từ F đến được gọi là tham số tiêu của parabol”.
+
GV: Chúng ta đã từng học về parabol ở đâu? Ở bài học nào?
14
SVTH: Nguyễn Thị Bích Hoa.

Xem chi tiết: Tiểu luận