Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học - Tích Phân

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học - Tích Phân": http://123doc.vn/document/569995-chuyen-de-on-thi-dai-hoc-tich-phan.htm

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 4

VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
1. f(x) là hàm hữu tỉ:
( )
( )
( )
=
P x
f x
Q x

– Nếu bậc của P(x)
≥
bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức.
– Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều
phân thức (bằng phương pháp hệ số bất địn8).
Chẳng hạn:
1
( )( )
= +
− − − −
A B
x a x b x a x b


2 2
1
,
( )( )
+
= +
−
− + + + +
A Bx C
x m
x m ax bx c ax bx c
2
4 0∆ = − <vôùi b ac


2 2 2 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
= + + +
− −
− − − −
A B C D
x a x b
x a x b x a x b

2. f(x) là hàm vô tỉ
+ f(x) =
,
 

+








 
+
m
ax b
R x
cx d

→
đặt
+
=
+
m
ax b
t
cx d

+ f(x) =
1
( )( )
 










+ +
 
R
x a x b

→
đặt
= + + +t x a x b


•
••
•
f(x) là hàm lượng giác
Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản. Chẳng hạn:
+
sin ( ) ( )
1 1
.
sin( ).sin( ) sin( ) sin( ). sin( )
 
+ − +
 
=
+ + − + +
x a x b
x a x b a b x a x b
,
sin( )
1
sin( )
 
−



=





−
 
a b
söû duïng
a b

+
sin ( ) ( )
1 1
.
cos( ).cos( ) sin( ) cos( ).cos( )
 
+ − +
 
=
+ + − + +
x a x b
x a x b a b x a x b
,
sin( )
1
sin( )
 
−



=





−
 
a b
söû duïng
a b

+
cos ( ) ( )
1 1
.
sin( ).cos( ) cos( ) sin( ).cos( )
 
+ − +
 
=
+ + − + +
x a x b
x a x b a b x a x b
,
cos( )
1
cos( )
 
−



=





−
 
a b
söû duïng
a b

+ Nếu
( sin , cos ) (sin , cos )− = −R x x R x x
thì đặt t = cosx
+ Nếu
(sin , cos ) (sin , cos )− = −R x x R x x
thì đặt t = sinx
+ Nếu
( sin , cos ) (sin , cos )− − = −R x x R x x
thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)

HT 8: Tính các nguyên hàm sau (dạng hữu tỷ):
1)
( 1)+
∫
dx
x x
2)
( 1)(2 3)+ −
∫
dx
x x
3)
2
2
1
1
+
−
∫
x
dx
x

4)
2
7 10− +
∫
dx
x x
5)
2
6 9− +
∫
dx
x x
6)
2
4−
∫
dx
x

7)
( 1)(2 1)+ +
∫
x
dx
x x
8)
2
2 3 2− −
∫
x
dx
x x
9)
3
2
3 2− +
∫
x
dx
x x

10)
2
( 1)+
∫
dx
x x
11)
3
1 +
∫
dx
x
12)
3
1−
∫
x
dx
x

HT 9: Tính các nguyên hàm sau (dạng vô tỷ):
1)
1
1 1+ +
∫
dx
x
2)
1
2
+
−
∫
x
dx
x x
3)
3
1
1 1+ +
∫
dx
x

4)
4
1
+
∫
dx
x x
5)
3
−
∫
x
dx
x x
6)
( 1)+
∫
x
dx
x x

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 5

7)
3 4
2+ +
∫
dx
x x x
8)
1
1
−
+
∫
x dx
x x
9)
3
1
1
−
+
∫
x dx
x x

10)
2
3
(2 1) 2 1+ − +
∫
dx
x x
11)
2
5 6− +
∫
dx
x x
12)
2
6 8+ +
∫
dx
x x

HT 10: Tính các nguyên hàm sau (dạng lượng giác):
1)
sin 2 sin 5
∫
x xdx
2)
cos sin 3
∫
x xdx
3)
2 4
(tan tan )+
∫
x x dx

4)
cos 2
1 sin cos+
∫
x
dx
x x
5)
2 sin 1+
∫
dx
x
6)
cos
∫
dx
x

7)
1 sin
cos
−
∫
x
dx
x
8)
3
sin
cos
∫
x
dx
x
9)
cos cos
4
dx
x x
 
+
 
 
∫
π

10)
cos cos2 cos 3
∫
x x xdx
11)
3
cos
∫
xdx
12)
4
sin
∫
xdx




GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 6

BÀI 2: TÍCH PHÂN

1. Khái niệm tích phân
• Cho hàm số f liên tục trên K và a, b ∈ K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
F(2) – F(1) được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là
( )
∫
b
a
f x dx
.

( ) ( ) ( )= −
∫
b
a
f x dx F b F a

• Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = = = −
∫ ∫ ∫
b b b
a a a
f x dx f t dt f u du F b F a

• Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong
giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là:
( )=
∫
b
a
S f x dx

2. Tính chất của tích phân
•
0
0
( ) 0=
∫
f x dx
•
( ) ( )= −
∫ ∫
b a
a b
f x dx f x dx
•
( ) ( )=
∫ ∫
b b
a a
kf x dx k f x dx
(k: const)
•
( ) ( ) ( ) ( )
 
± = ±
 
∫ ∫ ∫
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
•
( ) ( ) ( )= +
∫ ∫ ∫
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx

• Nếu f(x)
≥
0 trên [a; b] thì
( ) 0≥
∫
b
a
f x dx

• Nếu f(x)
≥
g(x) trên [a; b] thì
( ) ( )≥
∫ ∫
b b
a a
f x dx g x dx

3. Phương pháp tính tích phân
1) Phương pháp đổi biến số:
( )
( )
( ) . '( ) ( )
 
=
 
∫ ∫
u b
b
a u a
f u x u x dx f u du
trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u)
liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b ∈ K.
2) Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b
∈
K thì:

= −
∫ ∫
b b
b
a
a a
udv uv vdu

Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho
∫
b
a
vdu
dễ tính hơn
∫
b
a
udv
.
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 7

VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm

HT 11: Tính các tích phân sau:
1)
2
3
1
( 2 1)+ +
∫
x x dx
2)
2
2 3 1
1
3
( )
+
+ +
∫
x
x e dx
x
3)
2
2
1
1−
∫
x
dx
x

4)
2
1
2
2
−
+
∫
x
dx
x
5)
( )
2
4
1
2
2
4
−
−
+
∫
x
dx
x
6)
2
2
1
1 1
( )+ + +
∫
e
x x dx
x
x

7)
2
1
( 1)( 1)+ − +
∫
x x x dx
8)
2
3
2
1
( )+ +
∫
x x x x dx
9)
( )
4
3 4
1
2 4+ −
∫
x x x dx

10)
2
2
3
1
2−
∫
x x
dx
x
11)
2
1
2 5 7+ −
∫
e
x x
dx
x
12)
8
3
2
1
1
4
3
 





−






 
∫
x dx
x

HT 12: Tính các tích phân sau:
1)
2
1
1+
∫
x dx
2)
5
2
2 2+ + −
∫
dx
x x
3)
2
3
2
1
( )+ +
∫
x x x x dx

4)
1
2
0
2
1−
∫
xdx
dx
x
5)
2
2
3
0 3
3
1 +
∫
x
dx
x
6)
4
2
0
9+
∫
x x dx
HT 13: Tính các tích phân sau:
1)
0
sin(2 )
6
π
π
+
∫
x dx 2)
2
3
(2 sin 3 )
π
π
+ +
∫
x cosx x dx 3)
( )
6
0
sin 3 cos2
π
+
∫
x x dx

4)
4
2
0
tan .
cos
π
∫
x dx
x
5)
3
2
4
3 tan
π
π
∫
x dx
6)
4
2
6
(2 cot 5)
π
π
+
∫
x dx

7)
2
0
1 sin
π
+
∫
dx
x
8)
2
0
1 cos
1 cos
π
−
+
∫
x
dx
x
9)
2
2 2
0
sin .cos
π
∫
x xdx

HT 14: Tính các tích phân sau:
1)
dx
1
0
−
−
−
+
∫
x x
x x
e e
e e
2)
2
2
1
( 1).
ln
+
+
∫
x dx
x x x
3)
2
1
0
4
2
−
+
∫
x
x
e
dx
e

4)
ln 2
0
1+
∫
x
x
e
dx
e
5)
2
1
(1 )
−
−
∫
x
x
e
e dx
x
6)
1
0
2
∫
x
x
e
dx

7)
cos
2
0
sin
π
∫
x
e xdx
8)
4
1
∫
x
e
dx
x
9)
1
1 ln+
∫
e
x
dx
x

10)
1
ln
∫
e
x
dx
x
11)
2
1
0
∫
x
xe dx
12)
1
0
1
1 +
∫
x
dx
e


GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 8

VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Dạng 1: Giả sử ta cần tính
( )
∫
b
a
g x dx
.
Nếu viết được g(x) dưới dạng:
( ) ( ) . '( )
 
=
 
g x f u x u x
thì
( )
( )
( ) ( )=
∫ ∫
u b
b
a u a
g x dx f u du

Dạng 2: Giả sử ta cần tính
( )
β
α
∫
f x dx
.
Đặt x = x(t) (t
∈
10) và a, b
∈
K thoả mãn
α
= x(1),
β
= x(2)
thì
( ) ( ) '( ) ( )
β
α
 
= =
 
∫ ∫ ∫
b b
a a
f x dx f x t x t dt g t dt

( )
( ) ( ) . '( )
 
=
 
g t f x t x t

Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau:

HT 15: Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1):
1)
1
19
0
(1 )−
∫
x x dx
2)
1
3
2 3
0
(1 )+
∫
x
dx
x
3)
1
5
2
0
1+
∫
x
dx
x

4)
1
0
2 1+
∫
xdx
x
5)
1
2
0
1−
∫
x x dx
6)
1
3 2
0
1−
∫
x x dx

7)
2 3
2
5
4+
∫
dx
x x
8)
3
5 3
2
0
2
1
+
+
∫
x x
dx
x
9)
ln 2
0
1 +
∫
x
x
e
dx
e

10)
( )
ln 3
3
0
1+
∫
x
x
e dx
e
11)
1
2 ln
2
+
∫
e
xdx
x
12)
1
1 3 ln ln+
∫
e
x x
dx
x

13)
2
2 2
0
sin 2
cos 4 sin
π
+
∫
x
dx
x x
14)
2
3
2
0
cos . sin
1 sin
π
+
∫
x x
dx
x
15)
6
2 2
0
sin 2
2 sin cos
π
+
∫
x
dx
x x

HT 16: Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2):
1)
1
2
2
0
1−
∫
dx
x
2)
1
2
2
0
4 −
∫
x dx
x
3)
2
2 2
1
4 −
∫
x x dx

f(x) có chứa Cách đổi biến
2 2
−a x


sin ,
2 2
π π
= − ≤ ≤x a t t

ho
ặ
c
cos , 0 π= ≤ ≤x a t t

2 2
+a x


tan ,
2 2
π π
= − < <x a t t

ho
ặ
c
cot , 0 π= < <x a t t

2 2
−x a


{ }
, ; \ 0
sin 2 2
π π
 
 
= ∈ −
 
 
a
x t
t

ho
ặ
c
, 0; \
cos 2
π
π
 
 
 
 
 = ∈
 
 
 
 
a
x t
t


GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 9

4)
3
2
0
3+
∫
dx
x
5)
1
2 2
0
( 1)( 2)+ +
∫
dx
x x
6)
1
4 2
0
1+ +
∫
xdx
x x

7)
0
2
1
2 2
−
+ +
∫
dx
x x
8)
2
2
3
1
1−
∫
x
dx
x
9)
( )
1
5
2
0
1+
∫
dx
x

10)
2
3
2
2
1−
∫
dx
x x
11)
2
2
2
2
0
1−
∫
x
dx
x
12)
2
2
0
2 −
∫
x x x dx



VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:


HT 17: Tính các tích phân sau:
1)
4
0
sin 2
π
∫
x xdx
2)
2
2
0
( sin )cos
π
+
∫
x x xdx
3)
2
2
0
cos
π
∫
x xdx

4)
2
4
0
cos
π
∫
x xdx
5)
3
2
4
tan
π
π
∫
x xdx
6)
1
2
0
( 2)−
∫
x
x e dx

7)
ln 2
0
∫
x
xe dx
8)
1
ln
∫
e
x xdx
9)
3
2
2
ln( )−
∫
x x dx

10)
2
3
0
sin 5
π
∫
x
e xdx
11)
2
cos
0
sin 2
π
∫
x
e xdx
12)
3
1
ln
∫
e
xdx

13)
3 2
1
ln
∫
e
x xdx
14)
2
1
ln
∫
e
e
x
dx
x
15)
0
2
3
1
( 1)
−
+ +
∫
x
x e x dx

VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

HT 18: Tính các tích phân sau:
1)
2
0
2−
∫
x dx
2)
2
2
0
−
∫
x x dx
3)
2
2
0
2 3+ −
∫
x x dx

4)
3
2
3
1
−
−
∫
x dx
5)
5
2
( 2 2 )
−
+ − −
∫
x x dx
6)
3
0
2 4−
∫
x
dx


( ).
∫
b
x
a
P x e dx

( ).cos
∫
b
a
P x xdx

( ).sin
∫
b
a
P x xdx

( ). n
∫
b
a
P x l xdx

u P(x) P(x) P(x) lnx
dv
x
e dx

cos xdx

sin xdx

P(x)

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 10

7)
4
2
1
6 9− +
∫
x x dx
8)
3
3 2
0
4 4− +
∫
x x xdx
9)
1
1
4
−
−
∫
x dx

HT 19: Tính các tích phân sau:
1)
2
0
1 cos 2
π
−
∫
xdx
2)
0
1 sin 2 .
π
−
∫
x dx
3)
2
2
sin
π
π
−
∫
x dx

4)
1 sin
π
π
−
−
∫
xdx
5)
2
0
1 cos
π
+
∫
xdx
6)
0
1 cos 2
π
+
∫
xdx

7)
3
2 2
6
tan cot 2
π
π
+ −
∫
x x dx
8)
3
3
2
cos cos cos
π
π
−
−
∫
x x xdx
9)
2
0
1 sin
π
+
∫
xdx


VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ

HT 20: Tính các tích phân sau:
1)
3
3
1
+
∫
dx
x x
2)
1
2
0
5 6− +
∫
dx
x x
3)
3
3
2
0
2 1+ +
∫
x dx
x x

4)
( )
1
3
0
1 2+
∫
x
dx
x
5)
( )
3
2
9
2
1−
∫
x dx
x
6)
4
2
1
(1 )+
∫
dx
x x

7)
4
2
( 1)−
∫
dx
x x
8)
( )
1
2
0
4 11
5 6
+
+ +
∫
x dx
x x
9)
1
3
0
1
1
+ +
+
∫
x x
dx
x

10)
0
3 2
2
1
2 6 9 9
3 2
−
− + +
− +
∫
x x x
dx
x x
11)
3
2
3
2
3 3 3
3 2
+ +
− +
∫
x x
dx
x x
12)
1
2
3
0
(3 1)+
∫
x
dx
x

HT 21: Tính các tích phân sau:
1)
2
2
0
2 2− +
∫
dx
x x
2)
( )
2
3
2
0
3 2
1
+
+
∫
x
dx
x
3)
2
3 2
2
0
2 4 9
4
+ + +
+
∫
x x x
dx
x

4)
1
2 2
0
1
( 2) ( 3)+ +
∫
dx
x x
5)
1
3
2
0
1
1
+ +
+
∫
x x
dx
x
6)
1
4
0
1 +
∫
x
dx
x

7)
2
4
1
1
(1 )+
∫
dx
x x
8)
2
2008
2008
1
1
(1 )
−
+
∫
x
dx
x x
9)
3
4
2 2
2
( 1)−
∫
x
dx
x

10)
2
2
0
1
4 +
∫
dx
x
11)
2
2
4
1
1
1
−
+
∫
x
dx
x
12)
1
4
2
0
2
1
−
+
∫
x
dx
x

VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ

HT 22: Tính các tích phân sau:
1)
2 2
2
0
1+
∫
x x dx
2)
1
3
2
0
1+ +
∫
x
dx
x x
3)
1
0
1+ +
∫
dx
x x

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 11

4)
2
1
1 1+ −
∫
x
dx
x
5)
6
2
2 1 4 1+ + +
∫
dx
x x
6)
2
4
5
0
1+
∫
x
dx
x

7)
10
5
2 1− −
∫
dx
x x
8)
1
3 2
0
1+
∫
x x dx
9)
1
0
4 3
2 3 1
−
+ +
∫
x
dx
x

10)
7
3
3
0
1
3 1
+
+
∫
x
dx
x
11)
2 3
2
5
4+
∫
dx
x x
12)
3
5 3
2
0
1
+
+
∫
x x
dx
x

13)
2
2
0
1
1
+
−
∫
x
dx
x
14)
2
3
2
2
1−
∫
dx
x x
15)
2
3
1
1+
∫
dx
x x

HT 23: Tính các tích phân sau:
1)
1
2 2
0
1+
∫
x x dx
2)
3
2
2 2
1
1
1
+
+
∫
x
dx
x x
3)
1
2 3
0
(1 )+
∫
dx
x

4)
2
2
1
2008+
∫
x dx
5)
3
3 2
0
10 −
∫
x x dx
6)
1
2
0
1 +
∫
x dx

7)
1
2
1
1 1
−
+ + +
∫
dx
x x
8)
2
2
1
2008+
∫
dx
x
9)
1
3
2
0
1+ +
∫
x dx
x x

10)
2
2
2 3
0
(1 )−
∫
dx
x
11)
2
2
2
2
0
1−
∫
x dx
x
12)
5
4
2
1
12 4 8− −
∫
x x dx

HT 24: Tính các tích phân sau:
1)
2
0
cos
7 cos 2
π
+
∫
xdx
x
2)
2
2
0
sin cos cos
π
−
∫
x x xdx
3)
2
2
0
cos
2 cos
π
+
∫
xdx
x

4)
2
6
3 5
0
1 cos sin cos
π
−
∫
x x xdx
5)
2
0
sin 2 sin
1 3 cos
π
+
+
∫
x x
dx
x
6)
3
0
cos
2 cos 2
π
+
∫
xdx
x

7)
2
2
0
cos
1 cos
π
+
∫
xdx
x
8)
3
2
4
tan
cos 1 cos
π
π
+
∫
x
dx
x x
9)
2
0
sin 2 sin
1 3 cos
π
+
+
∫
x x
dx
x

HT 25: Tính các tích phân sau:
1)
ln 3
0
1+
∫
x
dx
e
2)
ln 2
2
0
1+
∫
x
x
e dx
e
3)
1
1 3 ln ln+
∫
e
x x
dx
x

4)
ln 3
2
ln 2
ln
ln 1+
∫
x
dx
x x
5)
0
2
3
1
( 1)
−
+ +
∫
x
x e x dx
6)
ln 2
3
0
( 1)+
∫
x
x
e dx
e

7)
ln 3
0
( 1) 1+ −
∫
x
x x
e
dx
e e
8)
1
0
−
+
∫
x
x x
e
dx
e e
9)
ln 2
0
1−
∫
x
e dx


GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 12

VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác

HT 26: Tính các tích phân sau:
1)
4
0
sin 2 .cos
π
∫
x xdx
2)
4
0
tan
π
∫
xdx
3)
2
0
sin
1 3 cos
π
+
∫
x
dx
x

4)
2
3
0
sin
π
∫
xdx
5)
2
0
sin
π
∫
xdx
6)
2
0
cos 3
π
∫
x

7)
2
2 4
0
sin cos
π
∫
x xdx
8)
2
2 3
0
sin cos
π
∫
x xdx
9)
2
4 5
0
sin cos
π
∫
x xdx

10)
2
3 3
0
(sin cos )
π
+
∫
x x dx
11)
2
3
0
cos
cos 1
π
+
∫
x
dx
x
12)
2
0
sin 2 cos
1 cos
π
+
∫
x x
dx
x

13)
4
3
0
tan
π
∫
xdx
14)
3
4
4
tan
π
π
∫
xdx
15)
3
3
4
sin .cos
π
π
∫
dx
x x

16)
2
3
2
0
sin
1 cos
π
+
∫
x
dx
x
17)
2
3
0
cos
1 cos
π
+
∫
x
dx
x
18)
/3
4
/6
sin .cos
π
π
∫
dx
x x

HT 27: Tính các tích phân sau:
1)
2
3 5
0
1 cos sin cos
π
−
∫
x x xdx
2)
2
6
1 sin 2 cos 2
sin cos
π
π
+ +
+
∫
x x
dx
x x
3)
3
2
4
tan
cos 1 cos
π
π
+
∫
x
dx
x x

4)
2
4 4
0
cos2 (sin cos )
π
+
∫
x x x dx
5)
sin
4
0
(tan cos )
π
+
∫
x
x e x dx
6)
( )
2
3
2
0
1 sin sin2
π
+
∫
x xdx

7)
3
0
sin .ln(cos )
π
∫
x x dx
8)
4
3
2 2 5
0
sin
(tan 1) . cos
π
+
∫
x
dx
x x
9)
3
2 2
3
1
sin 9 cos
π
π
−
+
∫
dx
x x

HT 28: Tính các tích phân sau:
1)
2
3
1
sin
π
π
∫
dx
x
2)
2
4
0
(1 cos )
π
+
∫
dx
x
3)
( )
2
4
0
1
1 sin
π
+
∫
dx
x

4)
2
0
cos
1 cos
π
+
∫
x
dx
x
5)
4
0
cos cos( )
4
π
π
+
∫
dx
x x
6)
2
2
0
(1 sin )cos
(1 sin )(2 cos )
π
−
+ −
∫
x x
dx
x x

HT 29: Tính các tích phân sau:
1)
2
0
(2 1)cos
π
−
∫
x xdx
2)
4
0
1 cos 2
π
+
∫
xdx
x
3)
3
2
0
cos
π
∫
x
dx
x

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 13

4)
2
3
0
sin
π
∫
xdx
5)
2
2
0
cos
π
∫
x xdx
6)
2
2 1
0
sin 2 .
π
+
∫
x
x e dx

7)
2
1
cos(ln )
∫
x dx
8)
3
2
6
ln(sin )
cos
π
π
∫
x
dx
x
9)
2
2
0
(2 1)cos
π
−
∫
x xdx

10)
2 2
0
sin
π
∫
x
e xdx
11)
4
2
0
tan
π
∫
x xdx
12)
2
0
sin cos
π
∫
x x xdx

13)
2
2
sin 3
0
sin cos
π
∫
x
e x xdx
14)
4
0
ln(1 tan )
π
+
∫
x dx
15)
4
4
0
cos
π
∫
dx
x

VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit

HT 30: Tính các tích phân sau:
1)
1
0
1 +
∫
x
x
e dx
e
2)
ln 2
0
5+
∫
x
dx
e
3)
1
0
1
4+
∫
x
dx
e

4)
ln 8
ln 3
1+
∫
x
x
e
dx
e
5)
ln 8
2
ln 3
1.+
∫
x x
e e dx
6)
ln 2
0
1
1
−
+
∫
x
x
e
dx
e

7)
2
1
1
1
−
−
∫
x
dx
e
8)
2
2
0
1+
∫
x
x
e
dx
e
9)
1
0
1
−
−
+
∫
x
x
e
dx
e

10)
2
1
ln
(ln 1)+
∫
e
x
dx
x x
11)
1
2
0
1
−
−
+
∫
x
x
e
dx
e
12)
ln 3
0
1
1+
∫
x
dx
e

HT 31: Tính các tích phân sau:
1)
3
2
6
ln(sin )
cos
π
π
∫
x
dx
x
2)
1
0
ln( 1)
1
+
+
∫
x
dx
x
3)
1
0
−
∫
x
xe dx

4)
2
0
( cos )cos
π
+
∫
x
e x xdx
5)
( )
1
0
ln 1 +
∫
x x dx
6)
2
1
1 ln+
∫
e
x
dx
x

7)
2
ln ln(ln )+
∫
e
e
x x
dx
x
8)
2
1
ln
ln
ln 1
 




+






 
+
∫
e
x
x dx
x x
9)
3
2
ln(ln )
∫
e
e
x
dx
x